智力题汇总

《多情剑客无情剑》- 平时要多磨炼技能，技能是磨炼出来的。同时要判断时机，一击致命。用最小的代价，换来最大的成功。

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生娃娃

问题：村庄有个约定，生男孩就结束，生女孩就继续生，直到生出男孩为止，若干年后，这个村子男女比例是多少？

X: 表示一个家庭总共生育的孩子数。

概率质量函数

P(X=) 表示家庭生育 k 个孩子的概率。其中，k−1 个孩子为女孩，最后一个孩子为男孩。因此，我们有：
$$
P(X = k) = (0.5)^(k-1) * 0.5 = 0.5^k
$$
这反映了每次生育的成功（生男孩）或失败（生女孩）是独立事件，成功的概率为 0.5，失败的概率也为 0.5。

期望值的计算

期望值 E(X) 是每个家庭生育孩子总数的平均值，计算公式为：
$$
E(X) = sum_{k=1}^{infty} k * P(X = k) = sum_{k=1}^{infty} k * 0.5^k
$$
使用几何级数的求和公式的变体来计算这个无穷级数。已知对于 ∣x∣<1：
$$
E(X) = sum_{k=1}^{infty} k * 0.5^k = 0.5 / (1-0.5)^2 = 0.5 / 0.25 = 2
$$
将 x=0.5 代入上述公式，得到：
$$
E(X) = sum_{k=1}^{infty} k * 0.5^k = 0.5 / (1-0.5)^2 = 0.5 / 0.25 = 2
$$
每个家庭生育孩子的总数的期望是 2，这意味着每个家庭平均有两个孩子，且因为每个家庭都至少会有一个男孩，因此每个家庭平均也会有一个女孩。

乒乓球

问题：假设你有一个乒乓球盒子，里面有 3 个白球和 2 个黑球。从盒子中抽取一个球，放回后再抽取一个球。两次抽取得到的球颜色不同的概率是多少？

首先，考虑所有可能的抽取结果。盒子中有 3 个白球和 2 个黑球，因此每次抽取白球的概率是：
$$
P(白球)= \frac{3}{5}
$$
每次抽取黑球的概率是：
$$
P(\text{黑球}) = \frac{2}{5}
$$

两次抽取中颜色相同的概率有两种情况：

两次都是白球：
$$
P(\text{白球}) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25}
$$
两次都是黑球：
$$
P(\text{黑球}) = \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{25}
$$

因此，两次抽取颜色相同的总概率为：
$$
P(\text{颜色相同}) = P(\text{两次白球}) + P(\text{两次黑球}) = \frac{9}{25} + \frac{4}{25} = \frac{13}{25}
$$
颜色不同的概率是这个事件的补集，即：
$$
P(\text{颜色不同}) = 1 - P(\text{颜色相同}) = 1 - \frac{13}{25} = \frac{12}{25}
$$

因此，两次抽取得到的球颜色不同的概率是
$$
\frac{12}{25}
$$

称重

问题：8个球，其中7个重量相同，另一个球比其他球重，现在只有一个天平，请问最少需要称几次一定能找到那个比其他球重的球？

具体步骤

第一步：把8个球分为三组：两组各3个球，剩下的2个球作为第三组。

第一次称重：将前面两组（3个球 vs 3个球）放在天平上。如果两组球的重量相等，那么重的球一定在剩下的2个球里。如果不相等，较重的那一组里一定包含那个较重的球。
第二次称重：
- 如果第一次称重时天平平衡，那么重的球在剩下的2个球中。此时只需将这两个球中的一个和另一个进行比较，就可以找到重的球。
- 如果第一次称重时天平不平衡，则重的球在较重的3个球中。此时从较重的3个球中挑出2个球进行第二次称重：
  - 如果天平再次平衡，那么剩下的那个球就是重球。
  - 如果天平不平衡，较重的那个球就是你要找的。

无论哪种情况，最少需要称2次就可以找到比其他球重的球。

倒水

问题：两个水桶，容量分别为5升和3升，请问如何使用这两个桶得到4升的水？

要用两个水桶（5 升和 3 升）得到 4 升水，可以按照以下步骤进行：

将 5 升桶装满水。
- 5 升桶现在有 5 升水，3 升桶空的。
将 5 升桶中的水倒入 3 升桶，直到 3 升桶装满。
- 5 升桶现在剩下 2 升水，3 升桶有 3 升水。
把 3 升桶的水倒掉。
- 5 升桶仍有 2 升水，3 升桶为空。
将 5 升桶中的 2 升水倒入空的 3 升桶。
- 5 升桶现在为空，3 升桶有 2 升水。
将 5 升桶重新装满水。
- 5 升桶现在有 5 升水，3 升桶仍有 2 升水。
将 5 升桶中的水倒入 3 升桶，直到 3 升桶再次装满。
- 5 升桶现在剩下 4 升水，3 升桶有 3 升水。

此时，5 升桶中正好有 4 升水。

**问题2：**5升杯子，6升杯子，得到3升水

步骤

初始状态: 两个杯子都是空的。
步骤1: 将6升杯子装满水。
步骤2: 从6升杯子中倒水到5升杯子，直到5升杯子满。此时，6升杯子中剩下1升水。
步骤3: 将5升杯子中的水全部倒掉。
步骤4: 将6升杯子中的1升水倒入5升杯子。
步骤5: 再次将6升杯子装满水。
步骤6: 从6升杯子中倒水到5升杯子，直到5升杯子满。此时，6升杯子中剩下2升水。
步骤7: 将5升杯子中的水全部倒掉。
步骤8: 将6升杯子中的2升水倒入5升杯子。
步骤9: 再次将6升杯子装满水。
步骤10: 从6升杯子中倒水到5升杯子，直到5升杯子满。此时，6升杯子中剩下3升水。

吃桃子

问题：一堆桃子，猴子第一天吃了一半加一个，第二天又吃了一半加一个，… ，到第10天时剩下一个桃子，问这原来有多少个？

已知第 10 天剩下 x10=1 个桃子。

根据题意，每天猴子吃掉了一半的桃子再加一个，也就是说，第 n 天剩下的桃子数 xn 与第 n−1 天的桃子数 xn−1 的关系是：

x9=2×(1+1)=4

x8=2×(4+1)=10

x7=2×(10+1)=22

x6=2×(22+1)=46

…

x1=2×(766+1)=1534

因此，原来有 1534 个桃子。

毒药

问题：1000瓶药水，1瓶有毒药，最少需要几只小白鼠一定能够找出？

这是一个经典的二进制问题，我们可以利用二进制编码和试验来找到最少的小白鼠数量。

分析：

共有 1000 瓶药水，其中 1 瓶是有毒的，剩下的 999 瓶是无毒的。
我们需要找到最少的实验次数（或者最少的小白鼠数量）来唯一确定哪一瓶是有毒的。

如果我们将每一瓶药水编号（例如从 1 到 1000），可以使用二进制编码来表示这些编号。每个药水编号可以用二进制形式表示为 10 位数（因为 210=10242^{10} = 1024210=1024，而 29=5122^9 = 51229=512 不足以表示 1000 瓶）。

我们可以利用小白鼠对这些二进制位进行测试。具体方法是：

用二进制表示每个药水的编号：例如，第 1 瓶药水的二进制编号是 0000000001，第 1000 瓶药水的二进制编号是 1111101000。
分配小白鼠测试位数：假设我们有 10 只小白鼠，每只小白鼠对应二进制编码的一个位（0 或 1）。
- 第 1 只小白鼠负责每瓶药水的第 1 位二进制数。
- 第 2 只小白鼠负责第 2 位二进制数，依此类推。
进行实验：
- 如果药水编号的某一位是 1，则对应的小白鼠喝该药水；如果是 0，则不喝。例如，编号为 9 的药水二进制表示为 0000001001，那么第 1 和第 4 只小白鼠喝这瓶药水。
- 通过观察哪些小白鼠在实验后死亡（意味着喝了有毒的药水），就可以通过二进制还原出有毒药水的编号。

结论：

用 10 只小白鼠 可以通过上述方法唯一确定 1000 瓶药水中的哪一瓶是有毒的。
因为 10 只小白鼠可以通过 2 的 10 次方 210=10242^{10} = 1024210=1024 覆盖 1000 瓶药水。

称盐

问题：一个天平，7g和2g砝码各一个，将140g盐分成90g和50g，需要称多少次？

我们手头有 7g 和 2g 两个砝码，它们可以组合成几种重量：

只用 7g：称出 7g
只用 2g：称出 2g
用 7g 和 2g：称出 9g
用反向称量也可以得出 5g（7g 放一边，2g 放另一边）

步骤：

我们从称出 90g 和 50g 开始分析，假设最开始有 140g 的盐。

第一次称量：
- 将 7g 和 2g 放在天平的一边（合计 9g），天平的另一边放盐，称出 9g 的盐。现在，剩下的盐是 140g - 9g = 131g。
第二次称量：
- 再称 50g：用 7g 的砝码放在一边，天平的另一边放盐，称出 50g。剩下的盐是 131g - 50g = 81g。
第三次称量：
- 再称 40g：用 7g 的砝码反向操作，称出 81g - 7g = 74g，剩下的 90g 盐。